１０進法の数を９で割る

２桁の自然数の十の位をＡ、一の位をＢとする。２３ならＡ＝２、Ｂ＝３ということだ。この自然数に１０を加えると、１０進法の定義よりＡに１を加えることになる。９＝１０−１であるから、Ｂ＝０でない時は、Ａに１を加え、Ｂから１を引くことになる。そうすると、各桁の数字の和、すなわちＡ＋Ｂは、９を加えても変わらないと言える。また符号を変えれば、９を引いても変わらないと言える。
その２桁の自然数から、１桁になるまで９を引いていった時、その１桁の数は、元の数を９で割った時の余りに一致する（∵９×ｎを引いたことになるから）。したがって、Ａ＋Ｂを９で割った時の余りは、元の自然数を９で割った時の余りと一致する。Ｂ＝０の時にも、Ｂに９を加えるだけなので（符号を変えた時は引く）、余りが一致するという結論は変わらない。このことは、３桁以上の自然数でも同様に成り立っていく。数学的に厳密な証明じゃないですが。